Algemeen

Reken mee met ABC heeft op het moment 159.029 deelnemers.

Gezamelijk gebruiken zij 236.267 computers om te zoeken naar abc drietallen.

Er zijn 298.450.889.052.826.752 drietallen doorgerekend waarvan 34.208.964 abc-drietallen zijn!

                   

Wat is het abc-vermoeden?

14 Jan 2006

Het abc-vermoeden is een idee waarvan wiskundigen denken dat het waar is, maar wat ze nog niet hebben kunnen bewijzen. Het vermoeden zelf is voor iedereen te begrijpen. Op deze pagina leggen we uit wat het abc-vermoeden precies is.

Abc-drietallen

Het abc-vermoeden gaat over abc-drietallen. Dat zijn drietallen getallen die aan een paar bijzondere eigenschappen voldoen. Allereerst moeten de getallen alle drie positief en geheel zijn. Het kleinste getal noemen we a, het middelste getal b en het grootste getal c. We hebben het dus over drietallen a, b en c en daar komt de naam abc-drietallen vandaan.

De getallen a en b mogen geen gemeenschappelijke delers groter dan 1 hebben. Het getal c moet gelijk zijn aan a + b. Neem bijvoorbeeld a = 1, b = 8 en c = 9. Om te zien of dit inderdaad een abc-drietal is, ontbinden we de drie getallen in priemfactoren. In dit geval geeft dit a = 1, b =2 × 2 × 2 en c=3 × 3.

We nemen nu de verschillende priemfactoren die voorkomen in a, b en c en vermenigvuldigen die met elkaar. Dat noemen we het radicaal van het drietal a, b en c. We schrijven dit ook wel als r(a, b, c). In ons voorbeeld komen slechts twee verschillende priemfactoren voor: 2 en 3. Het radicaal van het drietal 1, 8 en 9 is dus gelijk aan 2 × 3 = 6.

Wat is het radicaal van het drietal 4, 23, 27?
Je antwoord:
  Je antwoord is juist!Helaas, je antwoord is niet juist.Het juiste antwoord is: 138

Als het radicaal van een drietal a, b en c kleiner is dan c, dan hebben we een abc-drietal. We zien dat 1, 8 en 9 inderdaad een abc-drietal is, want 6 is kleiner dan 9.

Een ander voorbeeld van een abc-drietal is het drietal a = 5, b = 27 en c = 5 + 27 = 32. Om dit te zien, ontbinden we de drie getallen in priemfactoren: 5 is priem, 27 = 3 × 3 × 3 en 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2. De verschillende priemfactoren zijn 5, 3 en 2, dus het radicaal is r(5, 27, 32) = 5 × 3 × 2 = 30. Dit is kleiner dan 32, dus 5, 27 en 32 is een abc-drietal.

Meestal heb je echter minder geluk en is het radicaal van je drietal groter dan c. Dan heb je geen abc-drietal gevonden. Neem bijvoorbeeld a = 4, b = 15 en c = 19. We ontbinden in priemfactoren: 4 = 2 × 2, 15 = 3 × 5 en 19 is zelf priem. De verschillende priemfactoren zijn 2, 3, 5 en 19, dus het radicaal is r(4, 15, 19) = 2 × 3 × 5 × 19 = 570. Omdat 570 groter is dan 19, is dit geen abc-drietal.

Welke van de volgende twee drietallen is een abc-drietal?
a. (9, 16, 25)
b. (1, 63, 64)
Je antwoord:
  Je antwoord is juist!Helaas, je antwoord is niet juist.Het juiste antwoord is: b

Hoeveel abc-drietallen zijn er?

Als je zomaar een drietal getallen neemt, is dat meestal geen abc-drietal. Abc-drietallen zijn namelijk vrij zeldzaam. Zo zijn er bijvoorbeeld maar vijftien abc-drietallen met c kleiner dan 300. Toch bestaan er oneindig veel abc-drietallen, waarbij c steeds groter en groter wordt. Met een beetje rekenwerk kunnen we zelf al oneindig veel abc-drietallen vinden.

Bekijk de drietallen a = 1, b = c - 1 en c = 9n. Als we voor n de getallen 1, 2, 3, ... invullen, krijgen we oneindig veel drietallen. Nu moeten we laten zien dat dit ook allemaal abc-drietallen zijn. Het is al duidelijk dat a + b = c en dat a en b geen delers groter dan 1 gemeenschappelijk hebben. Het is ook nog zo dat b altijd deelbaar is door 8, maar dat is iets minder makkelijk te zien. Voor n = 1 klopt het wel: b = 8 en dat is deelbaar door 8. We kunnen nu c schrijven als c = 8 + 1. Als we dit met 9 vermenigvuldigen, krijgen we de c uit het volgende drietal (met n = 2) en die kunnen we dus schrijven als 9 × (8 + 1) = 9 × 8 + 9 = 10 × 8 + 1. Weer is c een veelvoud van 8 plus 1 en is b dus deelbaar door 8. Op dezelfde manier kunnen we dit laten zien voor de volgende drietallen, bij hogere waarden van n. Als b gelijk is aan b = 8 × m, dan is c = 8 × m + 1. De volgende c wordt nu 9 × (8 × m + 1) = 9 × 8 × m + 9 = 9m × 8 + 8 + 1 = (9m + 1) × 8 + 1. Dus de volgende b wordt (9m+1) × 8 en dat is deelbaar door 8.

We schrijven nu b = 23 × m. De verschillende priemfactoren die voorkomen in b zijn nu alle verschillende priemfactoren die voorkomen in m en (als 2 daar nog niet bij zat) ook 2. Er kunnen priemfactoren meerdere keren voorkomen in b, maar het product van de verschillende priemgetallen is in elk geval niet groter dan 2 × m. In a zitten geen priemfactoren en c bevat alleen maar de priemfactor 3. Dus het radicaal van het drietal a, b en c is zeker niet groter dan 2 × m × 3 = 6 × m en dat is altijd kleiner dan c = 8 × m + 1. Voor alle waarden van n is het drietal a = 1, b = 9n - 1 en c = 9n dus een abc-drietal.


Sommige abc-drietallen zijn beter dan andere.

De kwaliteit van een abc-drietal

We willen graag abc-drietallen met elkaar vergelijken en het ene drietal beter noemen dan het andere. Dit doen we door aan elk abc-drietal een kwaliteit te geven in de vorm van een getal. Hoe groter de kwaliteit, des te beter is het abc-drietal. De kwaliteit van een abc-drietal noemen we q en hangt af van het getal c en het radicaal r van het drietal: q is de macht waartoe je r moet verheffen om het getal c te krijgen, dus rq = c. We kunnen dit ook uitdrukken met logaritmen: q = log(c)/log(r). Hoe kleiner het radicaal ten opzichte van c, hoe groter de kwaliteit van het drietal.

Omdat bij een abc-drietal het radicaal r altijd kleiner is dan c, is q altijd groter dan 1. Meestal is de kwaliteit echter niet zo heel veel groter dan dit. Voor ons eerste voorbeeld met a = 1, b = 8 en c = 9 hadden we r = 6, dus q = log(9)/log(6) = 1,22629.

We weten al dat er oneindig veel abc-drietallen zijn, die dus allemaal q > 1 hebben. Maar zijn er ook oneindig veel drietallen met q > 1,5? Of als dat niet zo is, misschien zijn er dan oneindig veel met q > 1,1? Of anders met q > 1,01 of met q > 1,001? Dat weten we nog niet. Er is geen enkele methode bekend die bij zo'n grens voor q oneindig veel abc-drietallen kan produceren.

Het abc-vermoeden

Nu we alles over abc-drietallen weten, kunnen we het abc-vermoeden bekijken. Er zijn twee versies van het abc-vermoeden, een zwakke en een sterke versie. We weten nog niet zeker wat er waar is (het is alleen nog een vermoeden), maar als de sterke versie waar is, dan is de zwakke ook zeker waar. Andersom hoeft dat nog niet te gelden -- vandaar ook de namen sterk en zwak.

Na jaren zoeken naar abc-drietallen heeft het beste drietal een kwaliteit van ongeveer 1,63. Er is geen enkel drietal bekend met een hogere kwaliteit. Het is dus niet zo gek om te vermoeden dat er een bovengrens aan de kwaliteit zit en dat is precies wat de zwakke versie van het abc-vermoeden zegt. Volgens dit vermoeden is er een getal g zodat geen enkel abc-drietal een kwaliteit heeft die groter is dan g.

De sterke versie van het abc-vermoeden gaat over het aantal abc-drietallen met een hoge kwaliteit: dit aantal zou eindig moeten zijn. Zelfs als je een getal h neemt dat maar een heel klein beetje groter is dan 1, bijvoorbeeld h = 1,0001, dan nog zijn er volgens de sterke versie van het abc-vermoeden slechts eindig veel abc-drietallen met een kwaliteit die hoger is dan h. Met andere woorden, van de oneindig veel abc-drietallen die bestaan, hebben bijna alle drietallen een kwaliteit tussen 1 en h.

Auteur: Birgit van Dalen