Algemeen

Reken mee met ABC heeft op het moment 159.029 deelnemers.

Gezamelijk gebruiken zij 236.267 computers om te zoeken naar abc drietallen.

Er zijn 298.450.889.052.826.752 drietallen doorgerekend waarvan 34.208.964 abc-drietallen zijn!

                   

Het vermoeden van Catalan

11 Jan 2007

Het vermoeden van Catalan is een typisch voorbeeld van een wiskundig probleem dat heel makkelijk lijkt, maar ontzettend moeilijk is om op te lossen. Het duurde meer dan 150 jaar voordat dit vermoeden bewezen werd! In dit artikel lees je de geschiedenis van dit vermoeden en hoe stapje voor stapje vooruitgang werd geboekt.

In 1844 schreef de Belgische wiskundige Eugène-Charles Catalan (1814 - 1894) een brief naar de redactie van het wiskundetijdschrift Crelle waarin hij vertelde over zijn vermoeden. Dat vermoeden gaat over machten: Catalan verwachtte dat twee "echte" machten nooit precies 1 kunnen verschillen, met als enige uitzondering 8 (8 = 23) en 9 (9 = 32). Met een macht bedoelen we hier de macht van een geheel getal. Met een "echte" macht bedoelen we een macht die niet flauw is, oftewel: niet 1k, niet 0k, en ook niet x1. Als we deze flauwe gevallen niet zouden weglaten zouden we een heleboel oninteressante oplossingen krijgen, want er geldt bijvoorbeeld 361 = 36 en 371 = 37, en die verschillen natuurlijk wel precies 1. Hetzelfde geldt als we 0 en 1 wel laten meedoen, want elke macht van 1 is 1, elke macht van 0 is 0 en ook die verschillen wel precies 1.


Eugène-Charles Catalan

Catalan formuleerde zijn vermoeden als een vergelijking. In die termen zegt hij: als m en n gehele getallen zijn die allebei minstens 2 zijn, dan heeft de vergelijking xn - ym = 1 geen oplossingen waarbij x en y gehele getallen groter dan 1 zijn, behalve als n = 2 en m = 3, want dan hebben we de oplossingen 32 - 23 = 1 en (-3)2 - 23 = 1.

In zijn brief schreef Catalan dat hij zelf al geprobeerd had zijn vermoeden te bewijzen, maar dat dit niet was gelukt. Hij hoopte dat andere wiskundigen er over zouden gaan nadenken.


Het originele vermoeden van Catalan.

Catalans vermoeden kwam niet helemaal uit de lucht vallen: bepaalde speciale gevallen waren al bekeken door andere wiskundigen. De beroemde wiskundige Leonhard Euler (1707 - 1783) had de vergelijking x2 - y3 = 1 al onderzocht. Merk op dat van alle vergelijkingen die Catalan beschrijft dit de enige is die volgens zijn vermoeden wel een oplossing heeft. Euler had natuurlijk al snel gezien dat 9 en 8 een oplossing geven, maar voor een wiskundige is het geven van een oplossing niet genoeg: je wil zeker weten dat je alle oplossingen gevonden hebt. Als je denkt dat er maar één oplossing is, moet je daar een bewijs voor geven, want anders weet je nooit zeker of er niet per ongeluk ook nog een paar getallen zijn die je toevallig niet geprobeerd hebt, maar die wel een andere oplossing vormen. Euler gaf inderdaad een bewijs dat er geen andere oplossingen meer zijn in dit speciale geval.

Als je wilt laten zien dat een vergelijking geen, of maar heel weinig, oplossingen heeft, is het vaak handig gebruik te maken van een bewijs uit het ongerijmde: je neemt aan dat er wel oplossingen zijn (of: andere oplossingen dan de paar oplossingen die je al gevonden hebt) en je probeert uit die aanname allerlei conclusies te trekken, net zolang tot je op een conclusie komt die helemaal niet waar kan zijn, omdat hij iets zegt dat in tegenspraak is met iets dat je al weet.

Dat is precies wat Euler deed: hij nam aan dat er nog een andere oplossing bestond. Uit zo'n oplossing leidde hij weer een nieuwe oplossing af, en uit die nieuwe oplossing kon hij weer een nieuwe oplossing afleiden, en zo verder, en elke nieuwe oplossing was in een bepaalde zin "kleiner" dan de vorige. Maar hij wist ook al dat zo'n oplossing niet oneindig vaak kleiner kon worden! Zo kwam hij uit op een tegenspraak.

Zes jaar na het verschijnen van Catalans brief publiceerde de Franse wiskundige Victor Amédée Lebesgue (1791 - 1875) (niet te verwarren met de veel beroemdere Henri Lebesgue) een artikel waarin hij liet zien dat xp - y2 = 1 geen oplossingen heeft als p een priemgetal is. Daarmee had hij meteen bewezen dat xn - y2 = 1 geen oplossingen heeft voor alle positieve gehele getallen n.

Dat kun je op de volgende manier inzien. Lebesgue had al bewezen dat xp - y2 = 1 geen oplossingen heeft als p een priemgetal is. We maken een bewijs uit het ongerijmde: stel dat er wel een positief geheel getal n is waarvoor xn - y2 = 1 een oplossing x = a en y = b heeft. Dan is n geen priemgetal, dus n is te schrijven als n = pm waarbij p een priemgetal is en m geheel (want als een getal geen priemgetal is, is er een priemgetal dat dat getal deelt). We weten nu dat an - b2 = 1. Dit kunnen we nu schrijven als: apm - b2 = 1, dus (am)p - b2 = 1. Maar nu zie je dat de getallen am en b een oplossing zijn van de vergelijking xp - y2 = 1, terwijl die vergelijking geen oplossingen had! Dat kan natuurlijk niet, dus kan het niet zo zijn dat xn - y2 = 1 wel een oplossing heeft.

Je kunt precies hetzelfde argument gebruiken voor m: als je wil bewijzen dat xn - ym = 1 alleen (± 3)2 - 23 = 1 als oplossingen heeft, dan ben je klaar als je dat bewezen hebt voor het geval dat m en n priemgetallen zijn.

Het duurde ruim honderd jaar tot er weer iemand verder kwam op weg naar een algemeen bewijs: In 1960 bekeek Cassels de Catalanvergelijking. Hij liet zien dat als er gehele getallen p, q, x en y bestaan zodat p en q priemgetallen zijn en xp - yq = 1 dat dan p een deler van y is, en q een deler van x. In 1965 lukte het Ko Chao te bewijzen dat x2 - yq = 1 geen oplossingen heeft, op de al bekende oplossing 9 - 8 = 1 na.

Catalans vermoeden zegt eigenlijk iets heel sterks: het zegt dat een bepaalde vergelijking maar twee interessante oplossingen heeft. Maar we weten eigenlijk nog niet eens waarom Catalans vergelijking niet zelfs oneindig veel oplossingen zou kunnen hebben! In 1976 lukte het Rob Tijdeman om te bewijzen dat dat inderdaad niet het geval is. Hij bewees dat er maar eindig veel viertallen gehele getallen p, q, x, y bestaan waarbij p en q priem zijn zodat xp - yq = 1 geldt. Hij bewees ook dat het mogelijk is een bovengrens te berekenen voor de getallen p, q, x en y. Die bovengrens was echter zo groot (er is berekend dat p en q kleiner zijn dan 10110) dat het nog steeds niet mogelijk was om alle getallen daaronder uit te proberen. Zelfs de snelste computers zouden hiervoor langer nodig hebben dan ons heelal bestaat.

In 2002 kwam de grote doorbraak: de Roemeense wiskundige Preda Mihăilescu (geboren in 1955) slaagde erin het vermoeden van Catalan te bewijzen. Hij gebruikte het resultaat van Cassels (als xp - yq = 1, dan geldt dat p een deler is van y en q is een deler van x) en slaagde erin iets nog sterkers te bewijzen: p2 is een deler van y en q2 is een deler van x. Het bewijs van Mihăilescu gebruikte de theorie van cyclotomische lichamen en het werk van een aantal wiskundigen uit recentere jaren: Inkeri leidde in 1990 een aantal relaties tussen p en q af, en Bugeaud en Hanrot vonden een conditie waaruit ze konden afleiden dat als de Catalanvergelijking verdere oplossingen heeft, dat dan p en q allebei groter moeten zijn dan 43.

Mihăilescu's mededeling dat hij het vermoeden van Catalan bewezen had werd eerst sceptisch ontvangen door de wiskundige gemeenschap. Hij bracht zijn resultaten te chaotisch om ze meteen geloofwaardig te maken. Maar Yuri Bilu controleerde het bewijs en maakte er een overzichtelijker geheel van, zodat langzamerhand iedereen wel ging geloven dat het vermoeden inderdaad bewezen was. Mihăilescu's bewijs gebruikt, in tegenstelling tot Wiles' bewijs van de laatste stelling van Fermat, nauwelijks echt nieuwe wiskunde. De methodes die hij toepast zijn zeker heel slim, maar niet zo revolutionair en vernieuwend als de wiskunde die Wiles allemaal ontwikkeld heeft. Na 150 jaar is Catalans hoop dat iemand anders wel een bewijs zou vinden alsnog uitgekomen!

Er bestaat ook nog een generalisatie van het vermoeden van Catalan. Dat is het nog onbewezen vermoeden over de Fermat-Catalan vergelijking. Dit is een van de vermoedens die bewezen zouden kunnen worden met behulp van het abc-vermoeden, als dat tenminste waar is.

Auteur: Jeanine Daems