De Laatste stelling van Fermat
11 Jan 2007
Rond het jaar 1630 krabbelde Pierre de Fermat in de kantlijn van een boek dat hij een prachtig bewijs had gevonden voor een wiskundige stelling, maar dat dit bewijs niet in diezelfde kantlijn paste. Eeuwenlang probeerden bekende en onbekende wiskundigen een bewijs voor deze stelling te vinden. Uiteindelijk was het de Engelse wiskunde Andrew Wiles die in 1994 met geavanceerde wiskundige technieken de zogenaamde Laatste stelling van Fermat bewees.
Fermat was eigenlijk helemaal geen wiskundige, maar een jurist. Zijn grote passie was echter wiskunde en hij correspondeerde met verschillende grote wiskundigen uit zijn tijd. Fermat was een echt buitenbeentje; hij weigerde om zijn resultaten te publiceren, omdat hij geen zin had om alle details helemaal netjes uit te werken. Hij vond het ook leuk om mensen te pesten en om te laten zien hoe slim hij was. Hij stuurde bijvoorbeeld verschillende stellingen die hij bewezen had naar andere mensen, zonder het bewijs erbij te geven. De ontvangers probeerden zelf de stellingen te bewijzen, maar dat lukte ze vaak niet. Wanhopig vroegen ze Fermat om hulp; hij weigerde dat.
Het is dus niet zo vreemd dat juist deze man een wiskundig resultaat zonder bewijs achterliet. Dat de zogenaamde Laatste stelling van Fermat zo beroemd is geworden, komt waarschijnlijk doordat het een ontzettend eenvoudig probleem lijkt. De stelling zegt het volgende:
De vergelijking xn + yn = zn heeft geen oplossingen in gehele getallen x, y en z (ongelijk nul) als n een geheel getal is groter dan 2.
Of in andere woorden: als n een geheel getal groter dan 2 is, dan bestaan er geen positieve gehele getallen x, y en z zodat xn + yn = zn. Als n gelijk is aan 2, dan staat er x2 + y2 = z2 en die vergelijking heeft een heleboel oplossingen, want dit is natuurlijk de bekende Stelling van Pythagoras voor rechthoekige driehoeken. Fermat beweerde dus dat dit heel bijzonder is, want dat er voor n = 3, n = 4, n = 2007 (en welke n je ook kiest) geen enkele oplossing zou zijn. En hij beweerde ook nog dat hij dit had bewezen.
Dit is het probleem II.8 uit Arithmetica van Diophantus waarbij Fermat zijn beroemde stelling in de rechterkantlijn krabbelde. Zoals je ziet is de kantlijn inderdaad niet zo groot.
Langzame vooruitgang door grote namen
Verschillende grote wiskundigen beten zich vast in dit probleem. Er was al snel duidelijk dat het alleen nodig is om het vermoeden te bewijzen voor n = 4 en voor n een oneven priemgetal. Alle andere gevallen volgen hieruit.
Waarom is het genoeg om alleen te bewijzen dat de stelling van Fermat waar is voor n = 4 of n een oneven priemgetal? Stel dat er gehele getallen x, y, z bestaan met xn + yn = zn, waarbij n GEEN 4 of een oneven priemgetal is. Er zijn twee mogelijkheden: n is een macht van 2, of n is dat niet. In het eerste geval is n deelbaar door vier, in het tweede geval is n deelbaar door een zeker oneven priemgetal. Noem de deler in allebei de gevallen p en schrijf n = pq. We kunnen de vergelijking xn + yn = zn nu ook schrijven als: (xq)p + (yq)p = (zq)p. Dit is een vergelijking van de vorm xp + yp = zp (met een andere x, y en z dan eerst). Dus als er een oplossing bestaat voor het geval n = pq, dan vinden we ook een oplossing voor het geval dat n = p (waarbij p of 4 of een oneven priemgetal is). Dit mogen we omkeren: als er geen oplossingen bestaan voor de gevallen n = 4 en n een oneven priemgetal, dan zijn er voor alle andere gevallen ook geen oplossingen.
In 1753 schreef Euler aan Goldbach dat hij bewezen had dat de vergelijking geen oplossingen had voor n = 3. In zijn bewijs zat echter een fikse fout. Dit onjuiste bewijs kon later gerepareerd worden en was bovendien de aanleiding voor veel verder werk aan de stelling. Daarom wordt het geval n = 3 toch aan Euler toegeschreven. Sophie Germain was de eerstvolgende die grote vooruitgang boekte. Het probleem van de Laatste stelling van Fermat is op te splitsen in twee stukken: gevallen waarbij geen van de getallen x, y en z deelbaar is door n en gevallen waarbij precies een van de drie getallen x, y en z deelbaar is door n. Germain bewees dat de stelling in het eerste geval waar was voor alle n kleiner dan 100. Later breidde Legendre dit uit tot alle getallen n kleiner dan 197. Maar voor het tweede geval was het simpelste geval (namelijk n = 5) nog niet eens bewezen. Uiteindelijk werd dit in 1825 gedaan door Dirichlet en Legendre. Daarna werden steeds meer losse gevallen bewezen, maar een algemeen bewijs werd maar niet gevonden.
Foute bewijzen
De stelling van Fermat heeft de twijfelachtige eer om de stelling te zijn met de meeste onjuiste bewijzen. Alleen al tussen 1908 en 1912 werden bijvoorbeeld 1000 foute bewijzen gepubliceerd. Er werden grote geldbedragen uitgeloofd voor degene die de stelling kon bewijzen of voor iemand die gehele getallen x, y, z en n kon vinden zodat xn + yn = zn wel geldt. Het gerucht ging dat sommige universiteiten zelfs een standaardafwijzing klaar hadden liggen voor als weer iemand een bewijs opstuurde: "Beste ..., bedankt voor uw bewijs van de Laatste Stelling van Fermat. De eerste fout staat op pagina ..., regel ... . Hartelijke groet, ...". Een jonge werknemer werd opgescheept met het zoeken naar deze fouten.
In The Simpsons worden vaak wiskundige grappen gemaakt. In een aflevering uit 1995 loopt Homer in een nachtmerrie door een wiskundig landschap. In de lucht hangt 1782^12 + 1841^12 = 1922^12. Dit zou een tegenvoorbeeld zijn voor de Laatste stelling van Fermat! De subtiele grap is dat deze gelijkheid lijkt te kloppen op eenvoudige rekenmachines, omdat er afrondfouten worden gemaakt. Veel onjuiste bewijzen zijn ook gebaseerd op dit soort afrondfouten.
De jongensdroom van Andrew Wiles
Andrew Wiles was pas tien jaar oud toen hij in de bibliotheek een boek over wiskunde las, waarin de geschiedenis van de Laatste stelling van Fermat werd verteld. Hij was gefascineerd door dit probleem dat hij als schooljongen kon begrijpen, maar wat nog door niemand was bewezen. Hij besloot dat hij dit probleem op wilde lossen. Iets meer dan dertig jaar later is hem dat gelukt. Hij had een ander vermoeden bewezen, waaruit de Laatste stelling van Fermat volgde (net zoals het abc-vermoeden in één klap de stelling van Fermat zou bewijzen, zie deze pagina). Het interessante is dat Wiles moderne wiskunde gebruikte, die Pierre de Fermat nooit gekend kan hebben. De vraag blijft of Fermat zelf echt een bewijs had, of dat hij zich net als duizenden anderen ergens had vergist.
Links
Fermat
Zebra-boekje over de Laatste stelling van Fermat
Een nieuw bewijs voor Fermat?
Auteur: Ionica Smeets